Hằng đẳng thức – Khái quát các hiểu biết cần thiết cho bạn

Hằng đẳng thức là một công trình nghiên cứu kinh điển về mặt toán học, có ý nghĩa to lớn trong việc xác định mối quan hệ giữa các biến trong một đẳng thức và có ý nghĩa nhất định trong đóng góp vào toán học thế giới. Kiến thức về những đẳng thức này cần thiết đối với các bạn học sinh, đặc biệt là học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông. 

Khái quát về sự ra đời của hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức là một trong những công trình toán học phải nói rất nổi tiếng của rất nhiều thế hệ học sinh đã trải qua. Bên cạnh các định lý kinh điển khác như Pitago, Acsimet hay định lý Cosi thì đây cũng được xem như kiến thức căn bản, gối đầu của rất nhiều thế hệ học sinh phải nắm vững. Vậy trước tiên, chúng ta hãy tìm hiểu về nguồn gốc và cha đẻ của những công thức này.

Về nguồn gốc sự ra đời của hằng đẳng thức

Có 7 đẳng thức mà chúng ta đều biết đến, nếu bạn quên, một lát nữa chúng ta sẽ nhắc lại nó. Về nguồn gốc thật sự, hiện nay, vẫn chưa có nhiều công bố cụ thể về cha đẻ của những công thức toán học này. Sự đồng nhất trong giới khoa học đều cho rằng đây là một công trình đặc biệt đã có lâu đời.

Cũng bởi vậy, có thể nói về lý thuyết cũng như các chứng minh trong thực tiễn của những đẳng thức này đã giúp cho ngày nay chúng ta công nhận về chúng mà không phải lo ngại về tính chính xác. Vì vậy, khi nói về nguồn gốc và sự ra đời của nó, bạn có thể biết rằng nó đã có từ toán học cổ đại, xa xưa và hiện nay chưa có những chứng minh chuẩn xác về cha đẻ của công trình đồ sộ này.

Về khái quát liên quan đến các đẳng thức

Hằng đẳng thức có tới 7 công thức, xoay quanh mối liên hệ giữa 2 biến bất kỳ nhằm tạo ra một kết quả đặc biệt.  Nó được áp dụng phổ biến trong các dạng toán liên quan đến đa thức, nhân chia đa thức hay biến đổi đa thức nhằm rút gọn và tạo ra kết quả một cách nhanh chóng hơn. Về mặt này, chúng ta sẽ đề cập đến nó sau.

Bên cạnh 7 đẳng thức này, chúng ta còn có 4 hệ thức liên quan khác. Đây cũng được xem như những kiến thức sâu rộng, khó áp dụng và cũng thuộc dạng toán nâng cao đòi hỏi nhiều sự tìm hiểu và luyện tập từ các bạn học sinh mới có thể giải một cách chính xác được. 

Không chỉ ở Việt Nam mà trên thế giới, sự công nhận của những nhà chuyên môn cũng đưa 7 đẳng thức toán học này trong các chương trình giảng dạy. Trong khi Việt Nam nhấn mạnh trong tư duy nên việc các bạn thực hành giải các dạng toán này nhiều lần có thể hình thành cho các bạn tư duy toán học. Điều này vô cùng cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của trẻ.

Vai trò của hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học

Về vai trò của hằng đẳng thức, không thể phủ nhận những ý nghĩa to lớn của nó. Điều này đã được chứng minh qua hệ thống giáo dục của rất nhiều các quốc gia đều nhấn mạnh các đẳng thức này đối với sự phát triển tư duy toán học của trẻ. Chúng ta hãy tìm hiểu về vai trò quan trọng của những đẳng thức này nhé.

Rút gọn các đa thức phức tạp

Đây được xem như một công thức toán học có tính hỗ trợ lớn đối với quá trình học tập và các bài toán đa thức phức tạp, 7 đẳng thức đáng nhớ nhấn mạnh vào cách mà bạn có thể rút gọn các đa thức dài, có nhiều số và rất khó nhìn, dễ gây ra bối rối.

Bằng cách nhóm các biến lại gần nhau, bạn có thể nhìn thấy rõ ràng chúng có quan hệ về đẳng thức. Sự tóm gọi lại này thậm chí sẽ giúp bạn rút gọn một đa thức từ 20 biến chỉ còn từ 4 đến 5 biến, điều này hoàn toàn khả thi. Kết hợp với các điều kiện được cho ra, bạn có thể dễ dàng đưa ra đáp số và kết luận cần thiết.

Điều đáng nói ở đây là trong công thức này rút gọn đáng kể thời gian giải toán. Bạn sẽ có nhiều đa thức và việc của bạn phải nhóm chúng lại thành các hằng đẳng thức. Trong khi đó, các dạng toán liên quan đến khai tổng các đẳng thức này thành các đa thức ít gặp hơn, tuy nhiên vẫn có tồn tại.

Hình thành tư duy toán 

Thực tế đời sống mỗi ngày đều phải sử dụng đến toán. Trong thời kỳ công nghệ bùng nổ, các ngành học và đào tạo đòi hỏi rất nhiều ở kiến thức toán học. Điều này không chỉ thể hiện qua việc học thuộc các công thức, mà còn nhấn mạnh ở tư duy của người làm. Vì vậy mà cần sự rèn dũa qua thời gian.

Trong khi đó, các hằng đẳng thức đáng nhớ  được xem như một phần quan trọng trong việc hình thành tư duy toán học của các bạn học sinh. Thông qua các đẳng thức này để rút gọn các đa thức, đòi hỏi sự tư duy toán liên tục, tập trung và tinh mắt. Qua thời gian sẽ hình thành các phản xạ toán học quan trọng cho các bạn.

Đây là một quá trình dài và để làm được điều này, cũng như việc trở thành một kỹ sư trong một lĩnh vực công nghệ nào đó, các bạn đều cần các nền tảng vững chắc. Vậy nên, ngay từ nhỏ chúng ta cần phải tập trung cải thiện về tư duy. Đây là quan trọng nhất trong tam giác “tư duy- kỹ năng- công cụ” (mindset- skillset- toolset).

Lý thuyết hằng đẳng thức  

Nói về hằng đẳng thức, chắc chắn chúng ta có thể đã quên nhưng ít nhiều gợi lại một chút liên tưởng. Nhưng đối với các bạn đang ngồi trên ghế nhà trường, các bạn học sinh trung cơ sở và trung học phổ thông từ lớp 7 đến lớp 12 đều nhất định phải nhớ được. Hãy cùng ôn lại về các công thức này ngay sau đây:

1. Bình phương của một tổng bất kỳ

Về công thức, ta có sẽ có dạng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Ta có bình phương của một tổng bất kỳ luôn bằng tổng bình phương của 2 số trong tổng và 2 lần tích của số đó. 

1. Bình phương của một hiệu bất kỳ

Dạng: (a – b)^2= a^2- 2ab+ b^2. Công thức này khác với bình phương của một tổng ở chỗ tại điểm – 2ab. Khi bạn nhớ được công thức đầu tiên thì công thức bên dưới cũng không quá khó khăn để nhớ. 

1. Hiệu hai bình phương

Có dạng: a^2 – b^2 = (a – b)(a+b). Đây xem như công thức ngắn nhất trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Bạn cần lưu ý chỉ có công thức hiệu 2 bình phương chứ không tồn tại công thức tổng 2 bình phương đâu nhé. Bình phương của 1 hiệu 2 số sẽ bằng tích tổng 2 số nhân với hiệu 2 số.

1. Lập phương của một tổng bất kỳ

Được hiểu dạng: (a+b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3. Lập phương của một tổng 2 số bất kỳ luôn bằng tổng của những số: lập phương số đầu tiên, lập phương số thứ 2, 3 lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ 2 và 3 lần bình phương số thứ 2 nhân số thứ nhất. Cách diễn giải bằng lời sẽ khó hiểu nhưng như công thức trên bạn có thể thấy nó không quá khó.

1. Lập phương của một hiệu 2 số bất kỳ

Ta có công thức khá giống với lập phương của một tổng hai số bất kỳ. Với dạng: (a+b)3 = a3– 3a2b + 3ab2 – b3, bạn có thể thấy với công thức này, sẽ có dấu trừ xuất hiện tại vị trí sau lập phương của số thứ nhất và trước lập phương của số thứ 3. Còn lại khá tương đồng so với đẳng thức số 4.

1. Tổng 2 lập phương

Với đẳng thức số 6 và 7, chúng ta sẽ dễ dàng nhận thấy nó khó hơn so với 5 đẳng thức trước đó. Có dạng: a3+ b3= (a+b)( a2-ab +b2). Công thức này có mẹo nhớ như sau: tổng 2 lập phương bằng tích của tổng 2 số với bình phương thiếu của một hiệu. Tức nó thiếu đi 2 lần và có dấu trừ.

1. Hiệu 2 lập phương

Ta có đẳng thức dạng: a3– b3= (a+b)( a2+ab +b2). Trong hiệu của 2 lập phương không xuất hiện bất cứ dấu trừ nào, bạn cần lưu ý sự khác biệt này với tổng của 2 lập phương. Trong khi đó, mẹo nhớ của đẳng thức này như sau: hiệu 2 lập phương luôn bằng tích của tổng 2 số và bình phương thiếu của một tổng.

Các dạng toán liên quan đến hằng đẳng thức

Hiện nay, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ quả thừa nhận không chứng minh của nó đang được áp dụng trong nhiều dạng toán. Để giúp các bạn có thể định hình và luyện tập đầy đủ, chúng ta hãy liệt kê một số dạng toán mà cực kỳ cần thiết khi nhắc về các đẳng thức này.

• Tìm giá trị min-max. Đầu tiên, các bạn có thể tìm hiểu nhiều các lý thuyết về biện luận giá trị nhỏ nhất mà mình đã được học trong các bài học trước. Với hằng đẳng thức trong trường hợp này thường áp dụng để nhóm đa thức lại và biện luận với số dư để kết luận min-max.
• Tìm giá trị của biểu thức. Dạng này dễ hơn khi chỉ cần nhóm đa thức hoặc thay số đã cho trước sau đó các bạn có thể tìm ra kết quả. Dạng này xuất hiện trong các câu hỏi dễ, các bạn không được làm sai.
• Chứng minh phụ thuộc hàm. Dạng này được giải thích khi khai triển một đa thức, bạn nhận thấy rằng kết thúc của nó có 1 số xác định, nghĩa là nó không phụ thuộc ở các biến a, b cho trước.
• Chứng minh bất đẳng thức. Một dạng toán nâng cao nên việc của các bạn là tìm ra VT = VP hoặc quan hệ lớn nhỏ. Có một ví dụ thường gặp như sau:

Phương pháp giải toán bằng hằng đẳng thức hiệu quả

Để có thể giải hằng đẳng thức toán học hiệu quả, các bạn cần có sự vận dụng thường xuyên. Cách tốt nhất là bạn nên luyện tập ở các bài khác nhau trong các dạng đã nêu trên. Như vậy mới có thể nâng cao hiệu quả và thời gian làm bài, cải thiện tư duy và đạt được điểm cao.

Lời kết

Hằng đẳng thức đáng nhớ chính là kiến thức căn bản, là nền tảng đối với toán học của các bạn. Ghi nhớ và vận dụng chúng thường xuyên sẽ giúp các bạn dễ dàng vượt qua các bài kiểm tra cũng như nâng cao điểm số.